el modelo de determinantes

se llama regla de crawer, unn determinante es un arreglo matematico que consta de cierto número de renglones y columnas.

3-5
2-4 > renglones
columnas

resolver un determinante es como resolver una multiplicación o una suma.

3-5... 2(-5) = 10,10
2-4... 3(4) = 12

ax+by = c... 1 4x+3y = 4
axy+by2 = c... 2

determinación del sistema

x... 1 y... 1
x... 2 y... 2

c... 1 y... 1
c... 2 y... 2

y = x... 1 c... 1
x... 2 c... 2

x = x/&
y = Y/&

metodo de suma y resta

este metodo recive tambien el nombre de reducción o de eliminación y consiste en eliminar una variable sumando las ecuaciones originales o sus equivalentes para esto es necesario que la misma variable le tenga en ambas ecuaciones coeficientes inversos.

2x+9y = 8... ecución 1
3x+10y = 5... ecuación 2

multiplicar el coeficiente de "x" en 1 y 2

la ecucación 1 se multiplica por 3
3(2x+9y) = 8
6x+27y = 24

la ecuación 2 se multiplica por 2
-2(3x+10y) = 5
-6x-20y = -10... ecuación 4

6x+27y = 24
-6x-20y = 10
7y = 14
y = 14/7
y = 2

sustitución.
sustituir "y" en la ecuación 1 ó 2
2x+9y = 8
2x+9(2) = 8
2x+18 = 8

2x = 8-18
x = -10/2
x = -5
(-5,2)

metodo de igualación

x+3y+7 = 0... ecuación 1
2x-y+7 = 0... ecuación 2

despejar "x" de la ecuación 1 y 2

ecuación 1... x = -7-3y
ecuación 2... x = -7+y/2

igualar 3 y 4
-7-3y = -7+y/2
2(-7-3y) = -7+y
-14-6y = -7+y
-6y-y = -7+14
-7y = +7
y = 7/7
y = -1

sustituir "y" en 1 ó 2
x+3y+7 = 0
x+3(-1)+7 = 0
x-3+7 = 0
x = -7+3
x = -4

sistemas de ecuaciones

este metodo consiste en despejar la incognita en funcion de las ecuaciones.
sustitui la incognita despejada en la otra ecucación.
despejar la incognita resolviendo la escuación resultante.

encontrar el valor de la incognita despejada inicualmente sustituyendo el valor encontrado en cualquiera de las ecuaciones del sistema


x-2y = 7... ecuación 1
3x+y = 35... ecuación 2

despejar x de la ecuación 1

x = 7+2y... ecucación 3

sustituir x en la otra ecuación 2

3x+y = 35... ecuación 2
3(7+2y)+y = 35

21+6y+y = 35
7y = 35-21

y = 14/7

y = 2


sustituir el valor de y en la ecuación... 1

x-2 (2) = 7
x-4 = 7
x = 7+4
x = 11

Multiplicación de polinomios

para multiplicar la propiedad distributiva de la multiplicación es de la siguiente manera.

(a+b) (x+y+z) = ax+bx+ay+by+az+bz

(a+b)x = ax+bx

(a+b)y = ay+by

(a+b)z = az+bz

los productos de algunso polinomios siguen un patron fijo en cuanto al resultado de modo que este puede efectuarse si realizarce la multiplicación.

Multiplicación de monomio por polinomio

para efectuar esta operación se utiliza la propiedad distributiva de la multiplicación.


a (b+c+d+e) ab+ac+ad+ae

3x..1(2x..3-7x..2-x+6)

3x..2(2x..3)-6x..5

3x..2(-7x..2)= -21x..4

3x..2(-x) = -3x..3

3x..2(6) = 18x..2

Multiplicación de polinomios

en la multiplicacion de polinomios observamos 3 casos:

1° multiplicacion de monomios

2° multiplicancion de monomios por polinomios

3° multiplicacion de polinomios por polinomios


en la multiplicacion de dos o más monomios se aplica la regla de los signos.


se aplican las leyes los signos.

en la regla de los exponentes.

se determina el signo del producto

se multiplican los coeficientes numericos

se aplican las partes literales aplicando las leyes de los exponentes respectivos por ejemplo:

(3x..2y) (7xy..4) = 21x..3y..5

Exponentes o potencia

Todo numero elevado a una potencia implica la multiplicacion del mismo, tantas veces como lo diga el exponente.

(3)..2 = 3x3 = 9
(3)..3 = 3x3x3 = 27
(3)..4 = 3x3x3x3 = 81

Regla de los exponentes.

1° la multiplicacion de dos cantidades de la misma base es igual a tomar la misma base y sumar los exponentes.

1° ley: a..m*a..n = a..m+n 5..2*5..8 = 5..2+8 = 5..10

2° la division de dos cantidades de la misma base, es igual a tomar la misma base y arestar los exponentes.

2° ley: a..m/a..n = a..m-n 2..4/2..2 = 2..4-2 = 2..2

3° la multiplicacion de dos cantidades o más, cuales quiera, esta elevada a una potencia todos los factores toma el mismo exponente.

3° ley: (a*b)..m = a..m b..m (3*5)..3 = 3..3 * 5..3

4° si la division de dos cantidades cuales quiera esta elevada a una potencia tanto el numerado como el denominador toman el mismo exponente

4° ley: (a/b)..m = a..m/b..M (3/2)..4 = 3..4/2..4

5° si una expresion exponencial se eleva a una potencia se toma la misma base y se multiplican los exponentes.

5° ley: (a..m)..n = a..m*n (3..3)..2 = 3..3*2 = 3..2

6° toda expresion con exponente negativo es igual a su reciprocidad.

6° ley: a..-m = 1/a..m 2..-3 1/2..3 = 1/8

7° toda cantidad elevada a la potencia 0 es igual a 1

7° ley: a..0 = 1 (100,000)..0 = 1

8° un número elevado a una potencia fraccionaria es igual a la raíz de ese número.

8° ley: a..n/m = √a..n 5..2/3 √..3 5..2

Bloque IV

Transformaciones algebraicas.

monomio x, x..2, z..3, a.

binomio x..2, y..2, a+b

trinomio x+y+z

cualquier expresión que indica una o varias de las operaciones algebraicas se llama expresión algebraicas.

un termino algebraico es una expresion compuesta por numero concretos y letras que tambien representan numeros relacionados entre si mediante las operaciones de multiplicacion, division, suma y resta.

expresion algebraica

3a+y
sx
4x2..y

termino algebraico

4x..2
x..2 y..2

elemento de un termino.

el signo.
el coeficiente numerico.
la parte literal.

el signo de un termino sera negativo si le precede el signo menos.

coeficiente numerico.

si un termino algebraico es el producto de un numero concreto por uno o más terminos literales, dicho numero es su coeficiente numerico.

la parte litera las constituyen las letras del termino algebraico con sus respectivas exponentes.

coeficiente numerico.
7x..2

termino algebraico coeficientes partes literales c
9x..2 9 x..2 2
A..5b 1 A..5b 6
-xy..2 -1 xy..2 3
-6mn -6 mn 2
3/5 az..2 3/5 az..3 3

el grado de un termino es la suma de los exponentes de sus factores literales.

reduccion de terminos semejantes.

cuando realizamos la reduccion de terminos semenjantes se pueden presentar 3 casos uno es:
reduccion de terminos semejantes con un mismo signo.
en este caso se suman los coeficientes numericos anteponiendo a la suma el signo comun que tienen los terminos.
reduccion de numeros con diferente signo.
en este caso se restan los coeficientes numericos poniendo delante de la diferencia obtenida, el signo del numero que tiene mayor absoluto.
reduccion de 3 o mas terminos semejantes de diferentes signos.
reducir a un solo termino todos los que tienen un signo positivo.

N-esimo termino.

Se aplica al termino a cantidad

Matematica que ocupan un lugar
independiente en una serie.

El termno enesimo se representa con la leta "N".

1) Determina el vigesimo termino de la sucesión.

4,9,14,19,24,34,39.... ----->5

A1 = 4
d = 3

An = A1+d (n-1)
A20 = 4+5 (20-1)
A20 = 4+5 (19)
A20 = 4+95
A20 = 99

Las sucesiones aritmeticas son secuencias ordenadas de numeros que tiene con su antecesor la misma diferencia a cada numero... se obtiene el siguiente.
si sumas los terminos de una sucesion se obtiene una serie.

Sucesiones Geometricas
son secuencias ordenadas de números que tienen todos con su antecesor la misma razón por la razón obtienes el siguiente.
la suma de los terminos de una sucesión geometrica es una serie.

Sn = A1 (1-rN)/1-r

Sn10 = 3(1-2..10)/1-2

Sn10 = 3 (1-1024)/1-2

Sn10 = 3069

Dada la sucesion 8,11,14,17,20,23,26

a) calcula el termino 20 de la sucesión
b) calcula la suma de los primeros 10 terminos de la sucesión

d = 3
A1 = 8
n = 20

An = A1+d (n-1)
A20 = 8+3 (20-1)
A20 = 8+3(19)
A20 = 8+57
A20 = 65

Sn = [ 2a1+(n-1)d]n/2
S10 = [(2)8+(10-1)3]10/2
S10 = [16+27]10/2
S10 = 430/2
S10 = 215

¿que es una serie? y ¿que es una sucesión?

¿ que es una serie?
"suecesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa.... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.

sucesión : {1, 2, 3, 4}
serie: 1+2+3+4 = 10

Las series se suelen escribir con sel simbolo Σ que significa sumalos todos:

4 esto significa "suma de 1 a 4" = 10
Σ n
n = 1

4
Σ (2n+1) que son los cuatros primeros terminos
n = 1 de nuestro ejemplo {3, 5, 7 ,9....} = 3+5+7+9 = 24


¿que es una sucesión?
una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números)

En orden:
cuando decimos que los terminos estan "en orden" ¡nosotros somos los que decimos qué orden! podria ser adelante, atras o alternando ¡i/o el que quieras!
una suecesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden(y el mismo valor si puede aparecer muchas veces).

La regla:
una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

hay dos tipos de sucesiones son secuencias ordenadas de un numero que tienen con su antecesor la misma diferencia

sucesion 1 3 5 7 9 11
diferencia 2

segundo:

1+2(1) = 3

tercero:
1+2(2) = 5

cuarto:
1+3(3)= 7

sumando la diferencia a cada numero se obtiene el sieguiente, sumandola varias veces la al primero, obtienes cualquiera de ellas.
al detonar los termino con una variable, un subindice indica su lugar, primer termino A1, an = n-esimo termino.

As = 1+2 (4) = 9
A6 = 1+2 (5) = 11

An = A1 + d (N-1) -------> FORMULA.

un termino = primer numero + diferencia n-1 veces.

apartir del primer elemento y la diferencia comun, escribir los 5 primero terminos de cada sucesion.

A1 = 1
d = 3

an = A1 + d (n-1)

A2 = 1+3 (2-1)

A2= 1+3 (1)

A2 = 4

A3 = 1 + 3 (3-1)
A3 = 1 + 3 (2)
A3 = 7


A4 = 1+3 (4-1) = 10
A5 = 1+3 (5-1) = 13

a)
A1 = 23.5
d = 1.5

1° 23.5 + 1.5 (2-1)
25

2° 23.5 + 1.5 (3-1)
26.5

3° 23.5 + 1.5 (4-1)
28

4° 23.5 + 1.5 (5-1)
29.5

5° 23.5 + 1.5 (6-1)
37

serie

si se suman los terminos de una sucesion finita obtenemos una serie.

sucesion 1, 2, 3, 4, 5...

serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

se indica con Sn
donde N es el termino

Serie aritmetica Sn
podemos obtener la serie sin sumar.

a)

Sn = Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an

Ss = (1+2/2)5

Ss = (6)5/2

Ss = 15

b)

el primer termino y la diferencia

Sn = (2a+(n-1)d)n/2

Ss = (2(1)+(5-1)1)5/2

Ss = (2+(4)1)s/2

Ss = 6(5)/2 = 30/2 = 15


Suceciones aritmeticas:

obetener la suma de la sucesion

1,2,3....... 100

Sn = (A1+An)n/n

S100 = (1+100)100/2

S100 = (101)100/2

S100 = 50__50

Encuentra la formula para el n-esimo termino de la sucesion

a)
A1 = 1
{
d = 3

---> An = A1+d (n-1)
An = 1+3(n-1)
An = 1+3n-3
an = 3n-2

b)
A3 = 15d = 4
An = A1+d (n-1)
A3 = A1+4 (3+1)
15 = A1+4 (2)
15-8 = A1
A1 = 7

Las sucesion ordenadas

las sucesiones geometricas son las que tienen todo con su antecesor la misma razón:

Sucesión: 4,8,16,32,64....
A 2
Razón 8/4 = 2
A 1

r = 2

Multiplicando cada numero por la razón obtienes el siguiente:(multiplicando cada/cualquiera uno de ellos)

multiplicandola varias veces por el primero obtienes cualquiera de ellos.

Segundo:

4(2) = 8
A1 r

Tercero:

4(2)(2) = 16
A1 (R)(R)

Cuarto:

4(2)(2)(2) = 32
A1 (R)(R(R)(R)

Formula:

an = a+r (n-1)

¿que es una razón?, ¿que es una taza? y ¿que es una proporcion?

¿que es una razón?
un razón es la facultad en virtud de la cual el ser humano es capaz de identificar conceptos.

ejemplo:
decir que un hombre puede leer 100 palabras por minuto tiene poco significado asi como esta.

¿que es una taza?
taza es el porcentaje al que esta invertido un capital en una unidad de timpo determinado, osea el "precio del mercado financiero".

ejemplo:
las tazas fijas de las hipotecas estan referenciadas con los bonos del tesoro o 30 años.

¿que es una proporcion?
es una igualdad entre dos razones y aparece frecuentemente en notación fraccionaria.

ejeplo: 2/6 = 6/13

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Lenguaje algebraico

suma: adicion
aumento
más
agregar

sustracción: resta
diferencia
menos
quitar

multiplicación: por
producto
el doble de...
el triple de...

division: entre
mitad
razón

un número incrementado a 4... : 4x
dos veces un número... : 2x
un número menos 5... : x-5
un octavo de un número... : x/8
3 veces la diferencia entre 30 y c... : 3(30-c)
50 menos el producto de 10 por P... : 50-(10P)

tipos de fracciones!

fracciones propias!
las fracciones propias son aquellas cuyo numerados es menos que el denominador. su valor comprendido entre cero y uno
2/3, 3/5, 7/10


fracciones impropias!
las fracciones impropias son aquellas cuyo numerador es mayor que el denominador. su valor es mayor que 1
5/3, 7/5, 13/10


número mixto
el numero mixto o fraccion mixta esta compuesta de una parte entera y otra fraccionaria.
para pasar de numero mixto a fraccion impropia, se deja el mismo denominador y el numerador es la suma del producto del entero por el denominador mas el numerador del numero mixto.

3"2/5 = 3.5+2/5 = 17/5

para pasar una fraccion impropia aun numero mixto se divide el numerador. el cociente es el entero del numero mixto y el resto el numerador de la fraccion, siendo el denominador el mismo.

13 L5 13/5 = 2" 3/5
32


fracciones decimales
las fracciones decimales tienen como denominador una potencia de 10.

23/100, 12/1000, 3/10


fracciones equivalentes.
dos fracciones son equivalentes cuando el producto de extremos es igual al producto de medios.

a/b = c/d si a.d = b.c

simplificar fracciones.

simplificar una fraccion es transformar en una fraccion equivalente mas simple.
para simplificar una fraccion dividimos numerador y denominador por un mismo numero.
empezamos a simplificar probando por los primero numero primos: 2, 3, 5,7.... es decir, probamos a dividir numerador y denominador entre 2 mientra mas se pueda, despues pasamos al 3 y asi sucesivamente.

se repite el proceso hasta que no haya más que divisores comunes.

si los terminos de la fraccion terminan en ceros, empezamos mas quitando los ceros comunes finales del numerador y el denominador.

sie el número por el que dividimos es el maximo comun denominador llegamos a una fracción irreducible.

8/36: 4/4 = 2/9 8/36 = 2/9 8.9 = 36.2 72 = 72

fracciones irreducibles
las fracciones irreducibles son aquellas que no se pueden simplificar, esto sucede cuando el numerado y el denominador son primos entre si.

5/7, 6/13, 2/5.

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